2011-10-08 | 编辑：文\材料环境研究部

　　胡齐芽课题组日前在三维Maxwell方程组的非重叠区域分解方法及其相关问题取得重要突破，他们首次对三维Maxwell方程组构造了有效的非重叠区域分解预条件子，并建立了相应的理论结果。

　　该项成果的直接结果均发表在计算数学国际顶尖刊物上（SIAM J. Numer. Anal.、Math. Comp. 、J. Comp. Math、Numer. Math.、 SIAM J. Optim.）。Maxwell’s方程组是模拟电磁场的基本模型, 对其作区域分解并行求解非常重要。前人已在该领域做了大量工作，但对更为重要的三维多子域分解情形, 虽经数位优秀学者努力, 但得不到可扩展的(scalable)算法。本质困难是算法上不知道如何设计粗求解器(solver), 理论上不知道如何证明其有效性。胡齐芽课题组提出了设计粗求解器的新思想, 发展了一系列技巧, 较好地解决了该问题。他们不仅提出了两种解决方案, 而且揭示了困难所在, 建立了理论基础。

　　该项成果的创新点主要表现算法层面和理论层面。在算法层面，他们首次用两个子空间构造区域分解预条件子，首次提出了混合正则化方法处理非正定问题；理论层面，首次对菱有限元空间上的分数次对偶范数进行了深入的研究，首次研究了加权的Helmholtz分解。

　　电磁场问题(Maxwell’s方程组)具有很强的实际背景和广阔的应用前景(如电磁波、激光的数值模拟)。 Maxwell’s方程组的数值方法本身就是计算数学和科学工程计算的一个引人注目的领域（三位冯康奖获得者涉及该领域）。

　　“并行计算”是当前的一个热门话题。区域分解（domain decomposition）方法是并行计算的算法基础, 它是近二十年计算数学和科学工程计算的前沿课题。Maxwell’s方程组涉及到旋度算子(curl算子),通常由棱有限元(edge element, i.e., Nedelec element)方法离散。所得到的离散系统具有很大的规模(尤其对三维问题),从而对其作区域分解并行计算特别重要。菱有限元与标准的节点有限元完全不同,从而相应的区域分解迭代方法也有本质差异。对二维问题和三维两子域分解情形的子结构预条件子（substructuring preconditioner）已有多位学者研究,但对更为重要的三维非重叠多子域分解的情形在该领域是个众所周知的疑难问题。其困难来自于旋度算子和菱有限元的复杂性。最近, 胡齐芽与香港中文大学邹军教授合作,解决了这一问题。该问题的解决使对三维电磁场问题作并行计算变为现实，在理论上填补了一项空白（审稿人语），并将引导一些后继研究。

　　该项成果已得到许多公开好评, 并会为后继工作给予重要启示。美国Math.Review评论员Andre Nicolet对文(i)作了详尽的介绍，最后评价为：该文提出了棱有限元区域分解的一个有趣的预条件子, 并用很长的技术证明了其有效性；区域分解方法的主要开创者和领袖O. Widlund教授在《Domain Decomposition Methods----Algorithms and Theory》书中对该结果作了2页的介绍和充分肯定。

　　斯坦福大学的G. Golub教授(美国两院院士)在著名丛书《Acta Numerica》 (2005)的综述文章中对文(ii)给出了肯定的评价(用单独一段)：胡和邹(2004)提出的子结构预条件子具几乎最优的收敛率。