2011-12-21 | 编辑：文\物理\工程研究部

　　近日，张志涛研究员与合作者（E. N. Dancer and Kelei Wang）在Bose-Einstein Condensates和Volterra-Lotka竞争系统研究取得重要成果。他们给出了Bose-Einstein Condensates椭圆和抛物系统奇异极限研究中自由边界问题所满足的方程（组）。

　　他们证明这个极限问题与生物数学中的 Volterra-Lotka 竞争系统的极限问题满足相同的不等式组，从而对Volterra-Lotka竞争系统的动态性质的研究也有重要意义。与之前 Caffarelli-Lin Fanghua 等人研究的能量极小解不同，在一般情形需要排除自由边界上重数为1的点的存在。基于调和函数逼近的思想，他们给出了一种新的迭代技巧解决了这个问题。

　　自从物理学家提出用耦合Gross-Pitaevskii方程组来描述Bose-Einstein凝聚态以来，对这个奇异扰动的Schrodinger方程组及其极限中的Phase Separation现象出现了大量的研究,许多国际著名数学家如现代变分理论创始人A. Ambrosetti以及E.N.Dancer,S.Terracini, T.Bartsch,Juncheng Wei等都有突出成果。

　　他们的这一成果完全解决了国际著名数学家S. Terracini等人提出的一个关于Bose-Einstein凝聚态方程组的公开问题(J. Functional Analysis DOI 10.1016/j.jfa.2011.10.013)。

　　进一步，对于两类奇异扰动抛物系统（Bose-Einstein 凝聚态、竞争系统）给出解的正则性，主要利用blow-up技巧和the monotonicity formulas by Almgren and Alt, Caffarelli and Friedman 给出一致 Holder continuity 估计(J. Differential Equations 251 (2011) 2737–2769)。

　　他们还首次研究证明多物种 Lotka-Volterra 竞争系统竞争系数充分大时无周期解，且给出解的渐近性质，建立和应用了新的Approximate Clean Up Lemma(Transactions of the American Mathematical Society. 364(2)(2012), 961–1005)。