2012-08-01 | 编辑：文\材料环境研究部 

最近，许志强等人系统地对Box 样条与代数、离散几何的交叉问题进行了研究，将计算数学中发展的 Box 样条引入代数、离散几何等领域，取得了一系列进展。Box样条是逼近论与计算数学中的基本工具之一。然而，这一系列研究显示，Box样条在代数、离散几何方面亦可发挥作用。

在代数方面，他与代数学家B. Sturmfels 合作，给出了交换代数中的Batyrev-Popov 猜想一个完全的计算证明。这一猜想在2004年被提出，代数学家最近几年亦不断取得阶段性进展。他们提供了一个完全的计算证明,同时解决了Cruz-Iarrobino 在2000 年提出的2 个公开问题，以及Buczynska-Wisniewski 在2007 年提出的公开问题。将Box 样条中发展的多项式理想方面的结果引入环理论，提出了zonotopal-Cox 环的概念。 这一概念现被多篇组合及代数方面的论文进行推广。

离散几何方面：提出采用 Box 样条研究多面体体积、单位立方体切面面积等一系列离散几何问题。从而建立了两个领域之间的联系；与数论学家A. Dubuckas 合作，将数论中经典的“数幂分数部分的分布”引入精化方程的研究中， 从而也否定地解决了Constructive Approximation 杂志2006 年提出的关于精化样条的猜想。

许志强与合作者们也进行了一些其他的后续研究。在论文 “Hierarchical zonotopal spaces” (Trans. Amer. Math. Soc., 2012) 中， 受 Box 样条理论启发，他们提出了分层次 Zontopal 空间的定义，并研究了其与拟阵的关联,从而在 Box 样条与拟阵理论建立了一些联系。 审稿意见认为“These results are pretty cool”。 论文“multivariate splines and polytopes” (Journal of Approximation Theory, 2011) 研究了 Box 样条与多面体体积之间的关联。审稿意见认为：所发现的这个关联即令人感兴趣又发人深省，这个关联是非平反的且证明是优美的。论文 “Marginal Likelihood Integrals for Mixtures of Independence Models” (Journal of Machine Learning Research, 2009 ) 利用 Box样条的公式计算多面体上多项式的积分。美国数学评论对该文的评价为 MR2534873 (2011a:62019)：作者聪明的利用这些多项式的特别结构，从而显著加速了计算。

他们的工作引发了一些后继研究。 论文 “Sagbi bases of Cox-Nagata rings” （JEMS）于 2010 年正式发表，但在 Google scholar 引用次数已经近30余次。多数为扩展他们发现的一些关联及提出的一些概念。例如，在最近的论文“Inverse systems, Gelfand-Tsetlin patterns and the weak lefschetz property” 中,作者主要利用他们的结果在 Weak Lefschetz Property 与 Gelfand-Tstelin pattern 之间建立了关联。论文 Zonotopal Algebra (Adv. Math., 2011) 中称他们论文的工作为“令人激动的工作”。