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圆球Couette流分叉解的数值模拟研究
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  2013-10-22 | 编辑:\材料环境 

1. 球形Couette流的几何结构

圆球Couette流是指两个同心球之间的流体受内外球共轴旋转驱动而形成的一种流动。它广泛出现在自然界(如行星大气、地幔对流)和工程应用(如流体转子陀螺仪、离心机)问题中。图1所示为内球旋转、外球静止的圆球Couette流。当球缝中充满不可压缩牛顿流体时,这个问题动力学上只有两个无量纲控制参数:雷诺数和缝隙比,其中是内球的旋转角速度,分别是内外球半径,是运动黏性系数。雷诺数是表征流体惯性力和黏性力比值的一个重要参数。圆球Couette流在小Re数时是稳定的层流状态,随Re数增大,视缝隙比大小情况,流场中可出现丰富的流动不稳定性现象。在中等缝隙比情况下,随雷诺数逐渐增加,流动首先发生第一次失稳(分叉),形成多重定常Taylor涡,然后发生第二次、第三次分叉,可以依次出现周期性螺旋涡(或螺旋波)、波形涡、拟周期的调制波等复杂的流动结构。在不同初始流场和人工扰动的影响下,对于同一雷诺数和缝隙比,实验还观察到多重周期解,并随雷诺数增加发展为混沌、再层流化、部分湍流、完全湍流等流态。因此,圆球Couette流是研究封闭区域中旋转流动不稳定性和转捩机理的重要平台。

常用的计算流动分叉解的方法是基于伪弧长的延拓法。这种方法计算定常分叉解比较有效,例如上世纪80年代研究者就用它获得了圆球Couette流在小雷诺数下的所有定常分叉解,但对于非定常分叉解就不那么有效。目前研究者一般还是用传统的数值方法如拟谱法、有限差分法等,通过直接数值模拟来探寻圆球Couette流的非定常分叉解。虽然小缝隙比和中缝隙比时的螺旋Taylor涡、大缝隙比的螺旋波等具有显著特征的非定常流态都被数值模拟研究获得,但还没有得到实验所观察的非定常多态解共存的结果。和圆柱Couette流的大量研究相比,圆球Couette流受到的重视较少,分叉解的数值模拟研究文献不多。

我们将一种耗散误差较小的基于通量差分裂的五阶迎风紧致差分格式应用于模拟圆球Couette流的非定常分叉解。计算方法虽然还是传统的时间推进法,但我们在人工扰动函数中考虑了旋转方向波数和子午面方向Taylor涡个数变化的特点,可给出不同波数和Taylor涡数的初始扰动。我们的数值模拟从已有的定常分叉解初始流场出发,通过逐步增加Re数的长时间计算,首次再现了Wimmer实验观察到的中等缝隙比0.18情况在较小雷诺数下定常解和周期解共存的结果,并获得了较大雷诺数下的多重螺旋波(剪切波)Taylor涡解。图2显示了在同样控制参数 , 下共存的6种周期流态(6个分叉解),其中前三种对应于赤道附近()每侧有0个Taylor涡、不同螺旋波数的情形,后三种对应于有2个Taylor涡、不同螺旋波数的情形。该工作发表在流体力学著名期刊Physics of Fluids上。

由于采用时间推进法,我们只获得稳定的分叉解。不能得到不稳定的分支解。我们下一阶段的目标是发展计算周期分叉解的延拓法,并进一步研究分叉解失稳的机理。(文章: Li Yuan, Numerical investigation of wavy and spiral Taylor-Gortler vortices in medium spherical gaps, Physics of Fluids 24, 124104 (2012))

            

2 具有不同Taylor涡数和螺旋波数的六重周期解。每幅图左边是纬向速度分量展开球面上的等值线分布,中间是该速度在子物面上的分布,右边是该子午面上的速度矢量图。上面三个解的Taylor涡数为0,螺旋波数分别为789,下面三个解的Taylor涡数为2,螺旋波数分别为8910

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