周爱辉及其合作者在第一原理电子结构计算的数学理解方面取得进展。

第一原理电子结构计算已成为理解和探索物质机理以及预测材料性质的重要手段与工具。它可以解释实验,与实验相辅相成,从而能加速新材料的发现与设计。尤其是,第一原理计算还可能替代极端条件下的实验。虽然第一原理电子结构计算取得了巨大成功, 但是如何数学理解电子结构计算的可靠性与有效性,是鲜有人涉足的重要并具挑战性的课题。

周爱辉及其合作者10多年来,一直围绕第一原理电子结构计算的方法及其理论开展研究。近年来,他们从数学角度深入地研究了基于密度泛函理论的电子结构计算的可行性、可靠性与有效性。

第一原理电子结构计算使用最广泛的是基于密度泛函理论的数学模型。现有的离散格式大体上可分为三类：倒空间方法、局部基集法以及实空间方法。其中实空间方法具有很好的局部性,适应并行计算。 尤其是,有限元方法能进行自适应计算。

针对包括Kohn-Sham方程在内的电子结构计算的数学模型的一般的有限维离散,他们证明了：在一些合理的假设下,所有有限维逼近都收敛到体系的基态;某些基态的有限维逼近还具有最佳逼近性。进一步，他们设计了有限元离散的后验误差估计子,给出了其上下界估计,进而得到相应的自适应有限元离散算法,并证明了该算法具有最优收敛率与最优复杂度。

这些成果引发或支撑了多项后续性工作,如国际数学家大会45分种报告人Cancès, 欧洲科学院士、 国际数学家大会45分种报告人Maday以及Archive for Rational Mechanics and Analysis主编James等专家的相关工作。 美国《数学评论》（MR3019148）称有关工作是“widely innovative and pioneering”, 其许多想法是 “quite clever”,并“ fully recommend the paper for researchers in the area”。而MMS(2014年)称他们的工作是“fundamental results”。

这些成果为相当广泛的第一原理电子结构计算方法的合理性与有效性提供了数学依据： 如能很好地理解包括一些局部基集法在内的成熟的电子结构计算方法以及James等人2015年设计的电子结构计算谱格式(Journal of Computational Physics)。 

近年主要相关论文

[1] H. Chen, X. Dai, X. Gong, L. He, and A. Zhou, Adaptive finite element approximations for Kohn-Sham models, Multiscale Model. Simul., 12(2014), pp.1828-1869.

[2] H. Chen, X. Gong, L. He, Z. Yang, and A. Zhou, Numerical analysis of finite dimensional approximations of Kohn-Sham equations, Adv. Comput. Math., 38(2013), pp.225-256.

[3] H. Chen, X. Gong, L. He, and A. Zhou, Adaptive finite element approximations for a class of nonlinear eigenvalue problems in quantum physics, Adv. Appl. Math. Mech., 3 (2011),pp.493-518.

[4] H. Chen, L. He, and A. Zhou, Finite element approximations of nonlinear eigenvalue problems in quantum physics, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 200(2011), pp.1846-1865.