在科学与工程计算中存在着大量的特征值问题。比如,在偏微分方程的数值计算和微分系统的稳定性分析中经常碰到特征值问题的求解;第一原理电子结构计算的关键也是要求解特征值问题(或其等价形式)。第一原理电子结构计算能够为人们理解物质的微观结构、探究材料的物理和化学性质、研发和利用材料提供科学依据。最近提倡的“材料基因组计划”使越来越多的人们关注第一原理和特征值问题的计算。如何快速求解特征值问题变得越来越重要。
材料环境部谢和虎等基于对Aubin-Nitsche技巧的理解设计了求解特征值问题的有限元离散的一类多水平校正方法,并且研发了相应的程序包。这种多水平校正方法能将特征值问题的求解转化成一系列相应边值问题的求解和最粗空间小规模特征值问题的求解,从而可以利用已有求解边值问题的高效算法来设计求解特征值问题的高效算法。该算法的第一个优点是需要求解的边值问题可以直接利用已经发展很好的高效算法。第二个优点是由于需要真正求解的特征值问题规模很小,所以可以减少对内存的需求(因为特征值求解需要额外的存储量);同时,也不用担心这些特征值算法的收敛速度,并且求解这些小规模特征值问题的算法选择也是自由的。第三个优点是多水平校正算法和直接特征值求解所得解之间只相差一个高阶项,具有超逼近的性质。
他们还根据这种多水平校正算法设计出了一种求解线性和非线性特征值问题具有最优效率的多重网格算法,同时利用这种多水平校正的思想也设计了求解特征值问题的一类自适应有限元算法。
他们的研究表明,这种多水平校正方法可以直接应用于求解如控制问题、反问题和变分不等式等非线性问题,并构造出相应的多重网格算法。
近年主要相关论文
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