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低维流形上最优控制问题的数值方法
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基于J. L. Lions等人从20世纪60年代的开创性工作,偏微分方程约束控制问题在最近几十年成为数学的一个热门领域,并在流体控制、形状及材料优化、参数辨识、化学工程等领域得到了广泛的应用。从控制论的角度,人们关心控制问题的极大值原理,系统的可控性、能观性、能稳性及反馈控制的设计。从实际应用的角度,人们更关心控制的可实现性,特别是在具有偏微分方程约束的情况下实现理论上的最优控制及研究离散控制系统具有的性质,这些问题都离不开控制问题的数值模拟。尽管Lions、Glowinski、Lasiecka等人在20世纪80年代已经开始了控制问题数值分析方面的研究,但从2000年开始偏微分方程控制问题数值方法的研究才得到了飞速发展。

从控制问题的可实施性来看,通常我们不可能在整个空间区域对系统施加控制,而只可能在空间的局部(分布控制)或者区域边界(边界控制)施加控制作用。而在很多实际问题中,控制变量在空间上具有稀疏性,比如控制器的最优放置问题、具有点源及线源的控制问题、废水处理及污染物排放及反源问题等,这些问题引入了稀疏控制的概念。若控制器位置未知,我们需要在L^1空间及测度空间寻求具有稀疏解的最优控制。若控制器位置已知但控制作用于空间的点、线及面上,我们把这一类问题归为低维流形上的最优控制问题,由此带来了具有Dirac源项的椭圆及抛物状态约束方程,这给理论分析及数值逼近带来了极大的困难。针对此类问题,目前文献中缺乏在理论上的系统研究,数值分析方面的工作还是一片空白。

材料环境部龚伟近年来一直从事偏微分方程控制问题数值方法的研究,最近与合作者严宁宁教授等人在低维流形上的最优控制问题的理论分析及数值逼近方面进行了系统深入的工作,并取得了一系列重要成果,主要包括:(1)研究低维流形上的控制问题需要对状态约束方程的性态有精确的刻画。他们研究了具有Dirac源项的抛物方程,证明了解的存在唯一性,并研究了问题的空间半离散及时空全离散有限元方法,得到了关于时间离散和空间离散的最优先验误差估计。尽管文献中有大量关于具有Dirac源项椭圆方程数值分析的结果,他们的工作被认为是目前文献中关于此类问题的唯一结果,并对研究低维流形上的抛物控制问题提供了理论支持;(2)考虑了抛物点态控制问题的有限维逼近,给出了时空有限元离散的先验估计,这是文献中第一个关于低维流形上控制问题有限维逼近收敛性的结果;(3)在一般性的框架下,从理论和数值上研究了控制作用于空间区域低维流形上的椭圆及抛物控制问题,得到了控制问题的极大值原理,给出了状态变量的最优正则性估计,并得到了有限元离散的最优先验误差估计。

他们的工作得到了著名的控制及数值分析领域专家Enrique Zuazua教授(ICM45分钟报告人、洪堡研究奖、欧洲科学院院士)、Karl Kunisch教授(ICM45分钟报告人)、Charles Elliott教授(洪堡研究奖、SIAM Fellow)等人的关注和引用,并引发了关于具有低维流形上状态观测及点态控制问题数值分析方面的工作。

近年主要相关论文

[1] Wei Gong and Ningning Yan, Finite element approximations of parabolic optimal control problems with controls acting on a lower dimensional manifold, SIAM Journalon Numerical Analysis, 54(2), pp. 1229-1262, 2016

[2] Wei Gong, Gengsheng Wang and Ningning Yan, Approximations of elliptic optimal control problems with controls acting on a lower dimensional manifold, SIAM Journal on Control and Optimization, 52(3), pp. 2008-2035, 2014

[3] Wei Gong, Michael Hinze and Zhaojie Zhou, A priori error analysis for finite element approximation of parabolic optimal control problems with pointwise control, SIAM Journal on Control and Optimization, 52(1), pp. 97-119, 2014

[4] Wei Gong, Error estimates for finite element approximations of parabolic equations with measure data, Mathematics of Computation, 82, pp. 69-98, 2013

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