偏微分方程最优控制问题自适应算法收敛性取得进展----中国科学院国家数学与交叉科学中心 (NCMIS)

偏微分方程最优控制问题的求解需要把无穷维优化问题转化为有限维优化问题，这通常可以采用有限元离散来实现。对于离散格式的选取通常需要兼顾以下两个方面。首先是优化问题的求解。优化问题的规模依赖于有限元网格剖分的自由度个数，希望自由度个数尽可能的少从而降低优化规模。其次是逼近精度问题。非凸的计算区域以及约束偏微分方程中的非光滑系数会产生非光滑的解，从而导致计算精度的降低。自适应有限元算法可以同时兼顾上述两个问题，它能在降低优化规模的同时提高计算精度。自适应有限元算法的主要思想是通过后验误差估计子的指示，利用有限元解及给定数据等可计算量在每个剖分单元上计算误差指示子来衡量逼近误差，挑选误差指示子较大的单元进行标注加密，形成新的网格，最终把网格自由度分布在解具有奇性的区域，在降低计算量的同时提高逼近精度，从而达到最优计算复杂度。

我们知道有限元先验误差估计自动给出了离散解的收敛性，一个自然的问题是自适应有限元解是否是收敛的？这个问题的回答并不简单。自适应有限元方法由Babu?ka等人于1978 年提出，随后被大量应用于偏微分方程的求解。但是关于自适应算法收敛性这个问题，从1984 年Babu?ka等人对于一维情形的证明，到1996 年D?rfler对多维情形的证明，到随后Nochetto等人的一系列完善，花费了长达30 年的时间。基于Babu?ka、Binev、Dahmen、DeVore、D?rfler、Nochetto、Siebert、Stevenson 等人的重要贡献，椭圆边值问题自适应算法的收敛性得到了基本解决，并被认为是求解偏微分方程的最优算法。

自适应有限元方法在偏微分方程最优控制问题中的应用开始于刘文斌、严宁宁及Rannacher等人从2000 年开始的工作，随后吸引了大量的学者从事这方面的研究。尽管文献中出现了大量关于控制问题自适应有限元算法的研究，但是关于自适应算法收敛性这个基本问题还没有得到解决，文献中出现的若干尝试都被证明是不严格的。

近期材料环境部龚伟、严宁宁及其合作者研究了椭圆方程约束最优控制问题自适应有限元算法的收敛性。为了解决上述问题，他们考虑具有代表性的线性－二次(linear-quadratic) 椭圆最优控制问题。他们借鉴了戴小英、许进超和周爱辉等人研究特征值问题自适应算法收敛性提出的扰动方法（Dai,Xu,Zhou/Numer. Math./2008），建立了最优控制有限元逼近和椭圆边值问题有限元逼近之间的等价关系。利用上述等价关系和椭圆边值问题自适应有限元算法的收敛性结果，我们对于最优控制问题自适应算法的收敛性问题，第一次给出了一个严格的数学证明。上述工作2017年在线发表于计算数学领域国际权威期刊NumerischeMathematik。他们的工作得到了德国计算数学专家Kunibert G. Siebert教授等人的引用，Siebert 教授被认为对于椭圆方程自适应有限元算法的收敛性分析作出了重要的贡献。

基于椭圆方程最优控制问题的最优先验误差估计，他们认识到需要在L^2范数的意义下研究最优控制问题的自适应有限元算法，从而得到控制变量的最优收敛性和最优计算复杂性。基于以上认识，他们研究了L^2范数下最优控制问题的自适应有限元算法，证明了算法关于控制变量、状态变量及伴随状态变量的最优收敛性。此项工作的预印本2016 年发表于arXiv。