2017-06-30 | 编辑：文/材料环境部
计算流体力学是基于流体力学中的某些基本方程，构造数值离散方法，进而得到问题的数值解，它在国防、经济、金融、工程等许多领域有着广泛的应用，并在其中起到至关重要的作用。格子玻尔兹曼方法是近年来国际上发展起来的一种流体力学新方法。该方法是介于流体的微观分子动力学模型与宏观连续模型之间的介观模型，并兼具二者的优点。自提出之日起，该方法受到流体力学、物理学、数学、计算机技术等领域的众多专家学者的广泛关注，在理论、模型和应用各个方面都迅速发展。
在过去的二十多年内，格子玻尔兹曼方法在计算流体力学中取得了巨大的成功。1988年，McNamara和Zanetti提出把格子气动机中的Bool运算变成实数运算，并将其用于流体力学的数值模拟。1991年，Chen等提出了单松弛时间法（single relaxation time），用松弛时间系数来控制不同粒子靠近各自平衡态速度的快慢，简化了碰撞算子。此后，Qian、Zou、Hou等进一步发展了格子玻尔兹曼方法。Succi、Mieussens等，采用隐格式格子玻尔兹曼模型来求解稳态不可压问题，而Chen、Lee、Seta等，采用隐格式格子玻尔兹曼模型来求解含时不可压流体。
格子玻尔兹曼方法要求使用均匀网格，这在某种程度上，限制了该方法的应用。为此，Reider和Sterling首次将有限差分方法应用于格子玻尔兹曼方法中。随后，Cao等提出了非均匀网格的有限差分格子玻尔兹曼方法。Mei和Shyy将适体网格技术引入到有限差分格子玻尔兹曼方法中。基于Mei和Shyy的工作，Guo等人通过引入一个新的分布函数，消除了原方法中碰撞项的隐式离散，提出了一种新的全显格式。这些方法在时间上均采用显式递进，并保留了标准格子玻尔兹曼方法的演化特征，但时间步长不能选取过大，从而导致算法效率较低。Wang等和Pieraccini等先后提出了隐式—显式有限差分格子玻尔兹曼方法。上述显式和半隐式方法，时间步长的选取都受限于CFL条件数，在处理长时间演化问题时，需要大量的时间步数。
近期，材料环境部黄记祖及其合作者研究了格子玻尔兹曼方程的全隐式求解方法。为了突破CFL条件数对时间步长的限制， 黄记祖和蔡小川教授等，首次采用全隐式方法求解格子玻尔兹曼方程。他们采用 Newton-Krylov- Schwarz 类方法，求解离散后的非线性代数方程组。针对流体中若干典型问题，全面比较了隐式方法和显式、半隐式方法的优劣。根据问题的特点，提出了自适应调整时间步长的算法，使得隐式方法的时间步长远大于显式和半隐式方法的时间步长(可达上万倍)。这使得隐式方法的计算开销远低于显式和半隐式方法。另外，对于方腔流问题，首次发现了玻尔兹曼方程解与传统的Navier-Stokes方程解的一致性。他们的算法在超级计算机天河2 (Top-500的第一名, 2015年11月) 上实现了上万 CPU 核的可扩展性。该成果已经发表在国际顶级学术期刊 SIAM J. Sci. Comput.上
图1：格子玻尔兹曼方程解与Navier-Stokes方程解的比较
图2：全隐式在超级计算机天河2上的并行可扩展性
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雷诺数
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1,000
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5,000
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10,000
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50,000
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100,000
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网格
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129×129
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257×257
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257×257
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257×257
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257×257
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核数
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128
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128
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128
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128
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128
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总时间
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A
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7.6
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59.4
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72.4
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155.3
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170.1
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B
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260.1
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8.7e+3
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4.3e+4
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-
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-
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C
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642.6
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4.8e+4
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7.2e+5
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-
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-
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表1：求解方腔流算例，不同数值方法效率比较。其中“A”代表他们直接求解时谐格子玻尔兹曼方程的算法；“B”代表他们隐式求解含时格子玻尔兹曼方程的算法；“C” 代表显格式求解含时格子玻尔兹曼方程的算法。
为得到问题的稳态解，上述含时方法往往都需要经过多个时间步演化，这导致大幅的计算开销。直接求解相应的时谐方程通常可以大幅提高求解效率。然而，目前并没有可求解时谐格子玻尔兹曼方程的方法。材料环境部黄记祖及其合作者提出了求解时谐格子玻尔兹曼方程的全隐式方法。由于时谐格子玻尔兹曼方程的强非线性性，经典的 Newton-Krylov- Schwarz 类方法在求解该问题时很难收敛, 尤其是在处理高雷诺数问题。他们通过引入粗网格矫正和非线性预条件子技术，改善Newton-Krylov- Schwarz类方法的收敛性，从而能够直接求解高雷诺数(Re≤105)情况的时谐格子玻尔兹曼方程。以方腔流为例，相比于传统的伪时间步方法，直接求解时谐格子玻尔兹曼方程能够节省99%以上的计算开销。该成果已经发表在国际顶级学术期刊 SIAM J. Sci. Comput.上。相关论文：
1． J.Z. Huang, C. Yang and X.-C. Cai, “A Fully Implicit Method For Lattice Boltzmann Equations”, SIAM J. Sci. Comput., 37-5 (2015), pp. S291-S313.
2． J.Z. Huang, C. Yang and X.-C. Cai, “A nonlinearly preconditioned inexact Newton algorithm for steady state lattice Boltzmann equations”, SIAM J. Sci. Comput., 38-3 (2016), pp. A1701-A1724.
