透射特征值问题数值算法及应用研究取得进展----中国科学院国家数学与交叉科学中心 (NCMIS)

　　2017-10-10 | 编辑：文/材料环境部

透射特征值问题衍生于非均匀介质反散射理论。该问题在电磁场散射和反散射问题中扮演着非常重要的角色：透射特征值可给出材料折射率上下界估计；散射场的信息可以确定透射特征值；可以利用透射特征值设计各向同性的隐形材料；对于周期结构可进行透射特征值的均匀化处理；透射特征函数在区域角点有特殊性质，可以利用它来设计一些反散射技巧。尽管问题本身的提法很简洁，但它既非椭圆又非自伴，并不涵盖在经典偏微分方程的理论中。

对于透射特征值的理论研究集中在两个方面：折射率满足什么条件透射特征值存在且形成一个离散的集合；透射特征值如何给出材料折射率的上下界估计。尽管已有一些关于透射特征值存在性和估计方面的结果，数值计算方法仍非常有限。由于问题本身是非自伴的，经典的有限元方法离散得到的非厄米特征值问题需要特殊处理。Colton等第一次给出了Helmholtz方程透射特征值的数值研究；Hsiao给出了透射特征值以及相应内问题的一个边界元与有限元结合的算法。Sun用Argyris有限元计算四阶问题，由于自由度很多，网格不能太密，计算的精度也大受限制。

材料环境部季霞及其合作者给出了透射特征值问题的混合有限元方法，该方法有两个主要优点：（1）非物理的零特征值被自动消除；（2）在无需求解矩阵逆的情况下得到一个广义特征值问题。但由于问题本身非椭圆也非自伴，没有能够证明收敛性。该工作被评审人评价为当时求解透射特征值问题最有效的算法。

最近他们又延续了这个工作，把透射特征值问题原始的四阶非自伴形式改写成迭代的四阶自伴问题进行求解, 对于该高阶问题，采用C^0 IPG作为数值方法, C^0 IPG有多方面的优越性，它采用普通的拉格朗日元作为基函数，编程相对简单，他们给出了源问题的适定性，特征值问题的谱正确性以及最优收敛，数值结果验证了理论的正确性。

透射特征值来源于反散射问题，如果波数正好是透射特征值时，某些反散射技巧，比如线性采样方法，就会失效。透射特征值问题本身的形式也给我们启示：是否能找到入射波，不会感知散射体的存在，使得散射场几乎为零。这种波有一定的应用背景，比如医学里面的无影灯。他们在透射特征值问题的基础上，利用Helmholtz方程的性质，以及反问题的一些技巧，设计了无散射的入射波，形成一种特定情况下的隐形，还给出了相关的理论证明，下图为数值结果。

图1：入射波数为透射特征值时，散射场、总场、入射场的分布。散射场很小，集中在内部区域。