2018-08-30 | 编辑：文/材料环境部

晶体中的位错是一种线缺陷，它与晶体中的弹性应力场有关。在外力的作用下，位错运动穿过晶体时，会引起永久性的形状变化，即塑性形变。通常位错被认为是塑性形变的载体，研究位错对于理解材料的力学性质及塑性性质具有重要的作用。研究位错模型，无论是从基于第一性原理的原子模型出发，还是从线性弹性模型入手都有本质的困难，前者只能研究比较小的体系而后者无法描述晶体原子尺度上的信息。

Peierls-Nabarro(PN)模型自上世纪四十年代由Peierls和Nabarro等人独立提出后，经过七十余年的发展，已成为位错理论中的经典模型。PN模型是一种杂交模型，它的总能量包含弹性能和层错能，前者基于线性弹性理论，而后者包含了原子尺度上位错核的信息, 它在位错理论、材料模拟特别是最近兴起的双层石墨烯的研究中得到了广泛的应用 (参见综述论文: F.R.N.Nabarro, Materials Science and Engineering, A, 234(1997), 67—76以及Butz, B. et al, Nature, 505(2014), 533—544)。

尽管Peierls-Nabarro模型具有广泛的应用，然而它缺乏严格的数学理论。目前受到广泛关注的问题是如何从原子模型出发，严格导出PN模型，并建立原子模型与PN模型之间的联系。近年来，德国数学家Müller等人以及法国数学家Monneau等人在PN模型的数学理论研究中取得了部分进展，但该问题并未得到解决。

材料环境部的科研人员自2008年以来与香港科技大学的项阳教授以及普林斯顿大学的鄂维南教授合作展开该问题的研究。在文[2]中从材料的晶格结构出发，获得了PN模型中的层错能的一般表达式并发展了一种基于第一性原理的广义PN模型。该模型可用于曲位错，同时考虑了各向异性弹性能以及全滑移矢，因而能够比较准确地描述铜和铝等金属的位错核的性质。

在文[2]的基础上，在文[1]中对基于双层石墨烯(bilayer graphene) 的Peierls-Nabarro模型进行了严格的数学分析。双层石墨烯原子示意图如下：

他们从双层石墨烯的原子模型出发，利用渐近分析获得了PN模型，证明了PN模型解收敛到原子模型解，并估计了收敛速度。利用变分技巧以及PN模型算子谱的精细估计克服了位错中的间断位移场带来的困难，而关于Cauchy-Born法则的工作都是基于光滑位移场的，因此该项工作可视为我们之前关于Cauchy-Born法则工作在晶体缺陷上的一个推广。值得一提的是，他们所建立的模型包含了一般形式的层错能，而之前该方向的相关数学工作仅涉及部分特殊形式的层错能。

参考文献

1）T. Luo，P. B. Ming and Y. Xiang, From atomistic model to the Peierls-Nabarro model with Gamma-surface for dislocations, Arch. Rational Mech. Anal., 2018, to appear.

2) Y. Xiang, H. Wei, P.B. Ming and W. E, A generalized Peierls-Nabarro model for curved dislocations and core structures of dislocation loops in Al and Cu, with, ActaMaterialia, 2008, Vol 56, 1447—1460.