2022-1-14
多能谷半导体Boltzmann方程组分析与算法研究（曹礼群）
针对半导体材料和量子器件电、光、热等输运特性，研究了多能谷半导体Boltzmann方程组相关数学理论、算法和典型应用。已取得的主要成果有：（1）在线性情形下，证明了Boltzmann方程组的弱解与一类Markov过程的一致性；（2）针对非线性Boltzmann方程组，证明了线性化方程组弱解的存在唯一性；（3）若假设原非线性Boltzmann方程组整体弱解存在唯一，证明了线性化问题的弱解收敛到原非线性问题的弱解；（4）提出了一类直接模拟的Monte Carlo(DSMC)算法，证明了该算法得到的离散测度在弱拓扑下收敛到原问题的解，数值算例验证了上述理论结果的正确性；（5）应用于第二代半导体材料砷化镓和新型半导体材料石墨烯的性能预测与结构设计，得到了与实验结果十分吻合的模拟结果。上述研究成果已被多尺度领域国际权威刊物SIAM Journal on Multiscale Modeling and Simulation长文（42页）接收待发表。
以芯片为代表的新型半导体材料和量子器件的研究与开发，现在和可以预见的未来都将是国际科技竞争的焦点问题之一。随着半导体器件的尺寸接近纳米尺度，基于连续介质的漂移-扩散和流体力学模型，已难以准确刻画器件的经典和量子尺寸效应，介观半经典半导体Boltzmann方程（组）已越来越受到广泛关注，基于该方程（组）直接模拟的Monte Carlo算法(DSMC)已应用于实际半导体材料和量子器件的模拟中，大量的论文发表在IEEE等国际知名刊物上。由于多能谷半导体Boltzmann方程组是一个高维（7维）并带有十分复杂非线性碰撞项的微分-积分方程组，其适定性分析和数值求解均面临巨大的挑战。DiPerna和Lions针对空气动力学Boltzmann方程，首次证明了“大初值”问题温和解的整体存在性（发表在1989年的Annals of Mathematics）,这无疑是该领域最重要的进展之一，但其温和解的唯一性现在依然是未解决的难题。相比于空气动力学的Boltzmann方程，半导体Boltzmann方程（组）的碰撞项本质上是由求解量子力学方程而得到的，其积分核更复杂且带有奇性的Dirac测度，与浩如烟海的工程类文章形成鲜明的对照，有关半导体Boltzmann方程（组）的适定性分析、数值算法的收敛性和稳定性分析的数学文献则非常少，这无疑是应用数学和计算数学领域的极具挑战性的课题之一。我们的上述工作能被国际权威刊物(MMS)接受待发表，表明在此领域我们已取得了一定的实质性进展，我们尚需努力，在数学理论和典型应用上做出更多好的成果。
1.Jiachuan Cao and Liqun Cao, The consistency and the Monte Carlo method for semiconductor Boltzmann equations with multi-valley, to appear in SIAM Journal on Multiscale Modeling and Simulation, pp.1-42, 2021. （接收待发表已提交latex文件）
2.Yongwei Zhang, Chupeng Ma and Liqun Cao, Efficient multiscale algorithms for simulating nonlocal optical response of metallic nanostructure arrays, SIAM Journal on Scientific Computing (2021), 43(4): B907-B936.
3.Yongwei Zhang, Chupeng Ma and Liqun Cao, Multiscale approach and analysis for transient simulation of light interaction with nonlocal metallic nanostructure arrays, SIAM Journal on Multiscale Modeling and Simulation (2021), 19(2): 921-950.
4.Chupeng Ma, Yongwei Zhang and Liqun Cao, Analysis of a Galerkin finite element method for the Maxwell--Schr？dinger system under temporal gauge, accepted by IMA Journal on Numerical Analysis, 2021.
5.Yongwei Zhang, Liqun Cao, Dongyang Shi and Yanping Lin, Multiscale analysis and algorithm of transient electromagnetic scattering from heterogeneous materials, to appear in Journal of Computational Mathematics and Applied Mathematics, 2021.
