2022-1-14
复杂两相流问题的分析与计算（许现民）
带移动接触线的两相流问题是流体力学中尚未完全解决的公开问题之一。两相流的浸润性质由两相流界面与固体表面的夹角(接触角)所刻画。固体表面的粗糙性或化学性质不均匀性可显著改变宏观接触角的大小，此即所谓荷叶效应。浸润现象曾引起包括诺贝尔奖获得者 P. De Gennes 在内的众多研究者的兴趣[1]。从数学上讲，带移动接触线的两相流问题是一个具有复杂多尺度边条件的自由界面问题，与极小曲面和 Capillary 问题都有密切联系，因此也引起一些数学家，如 L. Caffarelli (2002 ICM 1 小时报告者), F. Otto等的兴趣[2]。近些年，我们对带移动接触线的两相流问题进行了系统的研究，推导并严格证明了粗糙界面上浸润现象的新的宏观接触角公式，构造了求解复杂浸润现象和两相流界面上偏微分方程的高效数值方法，澄清了移动接触线相场模型的明锐界面极限，并发展了基于Onsager变分原理的新型的模型约化方法。我们取得的主要突破性成果如下。
(i).我们推导出粗糙非匀质界面上浸润现象的统一的宏观接触角公式，并从数学上严格证明了该公式的正确性，并由此系统分析了接触角滞后现象 [Xu, SIAM J. Appl. Math. 2016; Xu, Zhao & Wang, SIAM J. Appl. Math. 2019]。我们的公式可以定量描述几何粗糙和化学性质非均匀界面的宏观接触角大小。新公式与经典公式即有联系又有区别：经典公式对应着系统能量全局极小，把宏观接触角表示成微观Young接触角在固体表面上的面积分平均；而修正公式对应着系统能量的局部极小，把宏观接触角表示为微观接触角在三相接触线上的线积分平均。这些工作在今年得到一些重要引用和评价，具体见下节成果意义和评价部分
上述理论基于周期性边界假设，为进一步研究更一般粗糙界面上的浸润现象，我们发展了基于 Thresholding Dynamics 的高效数值方法 [Wang, Wang & Xu, J. Comput. Phys., 2019; Lu & Xu, J. Comput. Phys., 2021]。该方法将求解非线性相场方程转化为求解热传导方程及一个简单的阈值处理过程，从而使求解粗糙界面上的浸润现象变得非常高效。我们通过对表面能采取不同的逼近参数，大大提高了对接触角的逼近精度。我们利用Gamma收敛理论证明了新的逼近方法的正确性。在文章[Lu & Xu, J. Comput. Phys., 2021]中，我们利用Onsager变分原理和梯度流理论对该方法进行了进一步改进，突破了传统方法的限制，在三相接触点附近得到了最优的收敛阶
(ii). 我们系统研究了带移动接触线的两相流的相场模型的sharp-interface极限 [Xu, Di &Yu, J. Fluid Mech., 2018]。 移动接触线问题是流体力学中悬而未决的问题，带广义Navier滑移边条件的相场模型因其能准确刻画分子动力学模拟结果而被广泛应用。研究相场模型的sharp-Interface极限具有重要意义。通过渐进分析和数值模拟，我们发现对相场模型中参数的不同选择，广义滑移边条件可以收敛于不同的明锐界面模型。该结果不仅可用来理解相场模型和明锐界面模型之间的关系，而且对数值计算中的参数选择具有指导意义。该工作今年也得到一些国际知名流体力学专家和应用数学家实质性引用和评价，具体见下节成果意义和评价部分
(iii). 为定量刻画带移动接触线的两相流问题，我们还发展了基于Onsager变分原理的新型逼近和模型约化方法 [Guo＊, Xu＊, et al. J. Fluid Mech. 2019; Xu & Wang, Phys. Fluids, 2020；Chen & Xu, Phys. Fluids, 2021]。 Onsager变分原理是非平衡态统计物理的一个基本原理。最近，我们将该原理作为一个模型约化方法研究两相流中的一些复杂多尺度现象，取得很好效果。利用该方法我们分析了液体薄膜的毛细现象，一般曲面上的液滴运动等重要的流体力学问题，得到与实验相吻合的结果。例如，对于液体薄膜内流体沿固体边界上升的毛细现象，我们推导出液面上升高度随时间发展的常微分方程，该方程表明液膜内流体上升具有与传统毛细现象截然不同的规律，其上升速度要慢得多。我们的简化模型准确定量刻画了物理实验现象，揭示了约束条件下流体新的动态浸润规律。
我们相关的工作在应用与计算数学及相关领域得到许多国际知名专家的引用和评价。简要叙述如下：
1). 我们对两相流浸润现象的分析和和数值计算方面的工作得到材料学家B. Nestler (德国莱布尼茨奖得主)，物理学家A. Hansen(挪威科学院院士、国际纯粹与应用物理学联合会副主席)，应用数学家A. Goriely(牛津大学, SIAM Fellow)，计算数学家A. Quateroni(2006 ICM 1小时报告人)、R. Nochetto(2010 ICM 45分钟报告人) 、S. Esedoglu(2018 年 ICM 45分钟报告人)和C. M. Elliott(2010洪堡奖获得者)等国际知名学者的引用。其中，发表在表面科学领域顶级杂志Surface Science Reports上的一篇关于浸润现象的综述文章中，H. Erbil 教授评价 the new “Cassie on line” approach fitted the experimental data remarkably well。在2021年发表的综述文章[Erbil, Colloids & Interfaces, 2021]中，作者再次转述我们的工作，并评价说 the novel derivation of the modified Cassie’s equations can help for the better estimation of apparent contact angles on flat and chemically heterogeneous surfaces，认为 the modification of line fraction-based Cassie equations may bring improvements in our comprehension of the contact angle field.
2). 我们关于移动接触线相场模型明锐界面极限的文章 [Xu et al, J. Fluid Mech. 2018] 发表3年来在应用数学及相关领域被引用36次（他引31次）。引用者包括一些国际知名应用数学家，如杜强教授(2018 年 ICM 45分钟报告人)、柳春教授等，也包括流体力学领域中一些国际顶级专家，如D. Peric(国际计算力学协会IACM Fellow)，S. Chakraborty (美国物理学会APS Fellow,英国皇家化学会 RSC Fellow)等。在2021年发表的文章 [D. Sharma, et al., Inter. J. Multi. Flow 2021] 中，法国国家科学研究中心(CNRS)的流体力学专家S. Amiroudine教授多处引用我们的工作，并评价称该工作是该问题研究的显著进展之一（noteworthy advancement of the subject）。
3). 我们关于利用Onsager变分原理分析动态接触角滞后现象的文章 [Xu & Wang, Phys. Fluids, 2020] 被流体力学著名刊物Physics of Fluids的编辑选为Editor’s pick精选论文。我们提出的基于Onsager变分原理的模型约化方法已被广泛应用于一些其他问题。例如D. Srolovitz(美国工程院院士)和包维柱(ICM 45 分钟报告人)及其合作者就利用我们的方法研究了固体去湿问题等。相关工作还得到中科院化学所江雷院士, 德国柏林自由大学R. Netz教授(洪堡奖获得者)等著名材料学家的引用。2021年的引用者还包括北京大学张平文院士(2018年ICM邀请报告人)，杜克大学刘建国教授(美国数学会会士)等应用数学家。在文章 [Fishlock et al, IEEE Micro. Elect. Mech. Sys. 2018] 英国皇家天文学会会员 J. McLaughlin 教授引用我们的文章，并评价说：Fundamental analysis of fluid mechanics systems have shown that the meniscus rise of fluid between one rigid and one flexible sheet can rise indefinitely.
1.S. Lu, X. Xu, An efficient diffusion generated motion method for wetting dynamics, J. Comput. Phys., 441, 110476 (2021).
2.Y. Chen, X Xu, Self-propulsion dynamics of small droplets on general surfaces with curvature gradient, Phys. Fluids 33 (8), 082107 (2021).
3.X. Xu, Y.N. Di, H. Yu, Sharp-interface limits of a phase-field model with a generalized Navier slip boundary condition for moving contact lines. J. Fluid Mech., 849, 805-833, (2018).
4.C. Lehrenfeld, M. Olshanskii, X. Xu, A stabilized trace finite element method for partial differential equations on evolving surfaces. SIAM J. Numer. Anal., 56, 1643-1672 (2018).
[1] P. G. de Gennes, F. Brochard-Wyart, D. Quere, Capillarity and Wetting Phenomena , Springer, 2003.
[2] L. A. Caffarelli, A. Mellet, Capillary drops: contact angle hysteresis and sticking drops, Calc. Var. Partial Diff. Equ., 29, 141-160 (2007).
