美国国家科学院的研究——2025年的数学科学（MathSci 2025）于2010年启动，由美国国家科学基金会资助，是一项对美国数学科学当前状态的前瞻性评估。MathSci 2025项目的最终报告将在2012年晚些时候发布。
《推动创新和发现：21世纪的数学科学》是在最终报告发布之前的一份独立报告。它是基于委员会对数学科学最新进展或数学科学研究推动的进展的确认，根据委员会对该学科的活力的评估得出。
在选择本报告的主题时，委员会旨在覆盖具有影响的一系列数学科学子领域和范围，选题中的信息可访问，并且可通过几页说明发展。
在2010年年底和2011年间，对相应的主题进行了确认、专家咨询、起草编写和修订等环节，并编辑了附带图像。
数学科学是日常生活的一部分。现代通信、交通运输、科学、工程、技术、医药、制造、安全和金融都依赖于数学学科。数学科学包括数学、统计学、运筹学和理论计算机科学。此外，还有许多工作在其他科学和工程理论领域的数学工作者，他们也促进了数学科学的发展。数学科学各领域研究之间具有统一性，研究过程中可能考虑或不考虑应用，并且不考虑数学科学的发展可能促进的一系列应用。要在科技发达的社会中发挥良好作用，每一个受过教育的人都应该熟悉数学科学的多个方面。
虽然数学科学是普遍的，但它们却往往不能得到明确的认识。数学科学推动了现代生活，通过分析数据或使用计算机建模和仿真来设计和分析处于“如果-那么”情况的系统或探索。随着科学与工程大多数领域、企业、政府、国家安全等方面真正海量数据集的出现，提高了对数学科学新工具的需要。因为数学科学具有独立的科学背景，它们可以方便地从一门学科转换到另一学科。
数学科学提供了一门包括数字、符号、图表和图表的语言，可以表达日常生活中，以及科学、工程、医学、商业、艺术等领域的思想。数学符号比汉语、英语或阿拉伯语更加普遍，使得具有完全不同语言和文字的团体之间实现沟通。
《推动创新和发现：21世纪的数学科学》报告选择了以下主题介绍数学科学各领域的最新进展或数学科学研究推动的进展。
1. 压缩传感
在过去的20年间，两场独立的变革使得数字媒体产生于前互联网时代。两场变革都深深植根于数学科学。现在，其中一场变革已经成熟，每当你去观看计算机动画电影时便会从中受益。另一场变革才刚刚开始，但已经重新定义了生物成像、通信、遥感和其他科学领域的可行性的限制。
第一场变革可称为“小波变革”。小波是一种数学方法，用于分离图像或任何种类的信号（声，地震，红外线等）中最相关的信息。
2004年，一些简单的问题开启了小波变革的中心前提：既然我们要通过压缩算法放弃90％或99％的信息，那么为什么我们甚至会烦心于获得1000万像素的信息？为什么我们不能从仅获得1％的最相关信息开始呢？这一点促使我们开始了被称为压缩传感的第二次变革。
当然，数学科学中充满神奇。就小波而言，即为眼见为实。压缩传感能够通过核磁共振成像使成像时间从2分钟减小到40秒。其他研究人员已将压缩传感用于无线传感器网络，在不使用心电图仪的情况下监测病人的心跳。
压缩传感已经改变了科学家和工程师考虑从模数转换到数字光学和地震信号的采集方式。例如，美国的情报部门一直在努力解决窃听敌人从一个频率跳到另一个频率的传输问题。当频率范围太大时，没有足够快的模拟-数字转换器能够扫描合理时间内的整个范围。然而，压缩传感的思想表明，这样的信号可以足够快地获取，以允许这样的扫描，从而导致新的模拟-数字转换器架构。
具有讽刺意味的是，不论现在还是过去你可能不会发现压缩传感应用的地方正是数码摄影。原因是，光学传感器是这么便宜，它们可以数以百万计地集成于计算机芯片上。虽然这可能浪费传感器，但其成本基本上为零。不过，只要你获取其他波长（如无线电或红外）或其他形式（如核磁共振成像扫描）的数据，压缩传感所节省的成本和时间将显示出更大的重要性。因此，压缩传感有可能继续作为数学家和各类科学家和工程师之间对话的肥沃土壤。
2. 特征向量/从数学科学到首次公开发行
1997年，当谢尔盖·布林（Sergey Brin）和拉里·佩奇还是斯坦福大学的研究生时，他们撰写了一篇简短的论文，论文是关于他们称为谷歌的实验性搜索引擎。布林和佩奇的想法的基础是许多数学家的研究，他们给每个网页进行排名，即网页级别（PageRank），用来表明它的权威性有多大。如果有很多其他网站链接到你的网站，那么你的网页级别就会提高。直观地说，那些其他网页正在为你的网页投下一票。此外，布林和佩奇假定本身具有相当权威的网页所投的一票应该算作多张票。因此，你的网页级别是链接到你的所有网页的网页级别的一个函数。
网页级别算法似乎构成了一个鸡和蛋的悖论：为了计算一个网页级别，你需要知道所有其他网页的网页级别值。然而，布林和佩奇认识到这项挑战是一种众所周知类型的数学问题，即特征向量问题。这种情况下，一个向量仅仅是数字的一个列表，如网络上所有网页的网页级别值的列表。如果将网页级别算法应用到向量集中，大多数向量将发生改变，但真正的网页级别向量仍然存在：它没有被算法改变。
这种 “持续”向量就是数学领域所熟知的特征向量。数百年间，特征向量已经在许多场合出现过。18世纪，这一概念最早由数学家欧拉在旋转固体的研究中提出。
大约一个世纪之后，你会发现特征向量在量子物理学中再次使用。到现在，你仍然可以发现特征向量概念在基因组学研究中的使用。
鉴于特征向量方法的普遍适用性，也许不太令人吃惊，谷歌的网页级别算法不涉及你对所搜索查询内容的实际了解，优于试图分析网页语义内容的算法，能够更好地为网页排名。但是，对于随机的或包含很大不确定性的真实数据使用特征向量方法的能力，是网页级别的关键。在短短几年内，每个人都在使用谷歌，“谷歌”已经成为一个动词。2004年，当布林和佩奇的公司上市时，其首次公开发行股票筹得270亿美元。
上面的例子证明了特征向量法从大量噪声数据中提取信息的显著能力。然而，还有很多工作有待完成。一个充满机会的领域是加快特征向量的计算。最近，数学家们发现，“随机投影”可以将大矩阵中的信息压缩到较小的矩阵，同时基本上保持相同的特征向量。可以使用压缩矩阵作为原始矩阵的替代，然后奇异值分解（SVD）就可以较小的计算成本继续进行。
谷歌面临的最大挑战之一是，防范网页级别的完整性，抵御垃圾邮件发送者。通过建立人工网络链接，垃圾邮件发送者削弱了基本假设，即一个网络链接表示一个人对网页价值的判断。虽然谷歌已经多次改进了网页级别算法，以便搜出假链接，领先于垃圾邮件发送者是一个持续的数学科学挑战。
3. 数学模拟
计算机模拟建立在数学建模的基础上，已经在所有类型的科研中得到日常应用，提供包括国防在内的企业和政府决策，设计和控制复杂的系统，如交通运输、公用事业和供应链等。模拟用于获得对这些系统的预期质量和操作的深入了解，并对那些可能尚未存在或不符合实验的系统开展如果-那么类型的评估。
从物理学到生物学，再到化学工程等许多应用方面，科学家们利用计算机模型研究那些对实验室研究中来说体积太大、体积太小、速度太快、速度太慢、太稀有和太危险的现象。建立这些模型，需要用公式表示数学和统计模型，开发算法，并创造软件。
数学模拟面临重大的挑战，这将是未来20年持续研究的焦点。
首先，现实世界的过程需要很宽时空尺度范围内的模拟。例如，超新星的核心崩溃发生在几毫秒内，关键对流步骤需要几秒钟时间，而爆炸的后果持续几个世纪。在空间分布上，爆炸过程中超新星高热原子核反应火焰从毫米到几百米不等。
在生物学中，各种尺度范围令人生畏。亚细胞过程，例如离子通道的打开和关闭，与细胞尺度的各种事件发生联系。这些效应级联上升，最初影响心脏组织，然后影响心脏，并最终（在心脏攻击的情况下）影响整个身体的健康。同样地，时间尺度也跨越了巨大的范围：蛋白质折叠需要几微秒，单次心跳需要若干分之一秒，心脏病发作需要几分钟，身体恢复需要数周或数个月的时间。将所有这些尺度引入单个数学模型中，是非常困难的事情。
涉及多尺度的问题是多物理场问题。通常用于不同尺度的模型的类型彼此不兼容。亚细胞水平的事件往往是化学和随机事件，受到几个分子的存在或不存在的影响。在心脏中，这些事件转化成电流和机械运动，它们均服从微分方程，微分方程通常是确定性的。
多物理场也可以表征单一的规模：心脏是一个电路，同时也是一个液压泵。同时以协调的方式模拟这两种特性是不容易的。在这种情况下，进展往往取决于各领域科学和数学科学思想见解的组合。
由于模拟的复杂性，模型验证也成为一项重大挑战。首先，建模人员必须确保程序的各个部分按预期工作，对于一个复杂的模拟，这是非常困难的。然后，建模人员将对其进行测试，看它能否再现简单真实世界系统的行为，是否匹配现有的数据。最后，该模型将用于预测真正的新现象。但并没有普遍的方法确定模型是否足够好，且可以应用，所以在一定程度上模型验证仍然更像一门艺术，而不是科学。
在不久的将来，模拟的另一项重大挑战将在硬件和软件方面。不用说，任何开展模拟的科学家都想获得更强的计算能力。计算能力正是超新星和蛋白质折叠模拟当中的主要瓶颈。今天，虽然三维模拟才刚刚可行，但天体物理学家确想实现六维模拟！六维模拟可以更准确地模拟每个粒子的速度和位置。
但是，原始计算能力不是唯一的解决办法。在研究的最前沿，不能夸大新的和更好的算法的重要性。简单地说，你可以等待2年以验证计算机每年翻一番的摩尔定律，或者今天通过开发更好的算法，你也可以得到相同的加速。
原始运算速度的明显进步不直接或许甚至不间接地转化为速度更快或更准确的模拟。今天的预期是，未来的高端电脑将拥有大量非常快的“核”—处理单元，分别以极高的速度运行，但核心之间的通信速度相对较慢。因此，为单核（或较少核数量）计算机编写的软件效率将较低，而且标准计算，如线性代数计算，将需要数学和计算机科学家的认真重写。
4. 海啸中的数学科学
数学科学有助于预测伴随于地震或其他海洋事件（如大规模山体滑坡或火山喷发）的海啸的路径和强度。数学模型通过估计海啸登陆的地点、海浪的高度，以及海浪前进的速度，为海啸预警系统提供支持。更根本的是，数学科学有助于映射海底的地形，并根据不规则地布置在相隔数百英里的地方的独立海洋验潮仪的数据推断大尺度波浪的行为。这方面的知识是在紧急警告和疏散之后，有助于避免潜在的破坏性后果。
图1 数值模型用来模拟地震、越洋传播，以及干燥陆地的淹没。在紧急情况下，为了节省时间，这些模拟针对各种可能发生地震的大小和位置开展，然后当海潮数据可用时，将这些方案与海潮读数结合。
图 基于海底映射和海洋验潮仪的读数，数学模型有助于预测海啸波浪的时间和轨迹。该信息用来预测海啸波浪将到达不同海岸的时间。
图 高分辨率计算模型用于模拟处于前进中的海啸波浪的高度，这里显示为两个不同地震的结果。这些估计有助于确定疏散区域和路线。由于当地的地形、长期海平面上升、年度气候变化、每月潮汐周期和短期气象事件，海啸的影响存在很大不同。
5.贝叶斯推断
在第二次世界大战期间，德国陆军、海军和空军使用被称为谜的加密机器发送了数以千计条消息。令他们几乎没有意识到的是，英国数学家对他们进行了窃听（事实上，直到20世纪70年代秘密才被完全揭开）。就其本质而言，关于谜的战争与任何军事接触一样重要。它的成功部分在于称为贝叶斯推断的统计方法，该方法使密码破译者能够以一定的概率确定密码机的某些设置（每天更换）比其他设置的可能性更大。
战争结束后的多年间，贝叶斯分析继续取得了显著成功。从1960年到1978年，美国全国广播公司使用类似的技术预测了选举结果。美国海军使用贝叶斯分析，寻找丢失的氢弹和被击毁的美军潜艇。然而，由于安全性或所有权的原因，这些成功并不能共享。在学术界，由于历史和哲学上的原因，贝叶斯推断很少得到支持。
在过去的30年里，贝叶斯分析已成为统计学和科学的核心工具。它的主要优点是，回答了科学家们很可能以直接和直观方式问到的问题。它可能是从巨大异构数据库中提取信息的最好技术。
贝叶斯和经典统计数据开始用来为哲学问题“什么是概率？”提供不同的答案。对于经典统计学家而言，概率就是频率。我们说一元硬币落地是头像一面向上的概率是50％，就意味着多次投掷硬币时，其头像朝上的次数大约占一半。
与此相反，贝叶斯认为概率是一定程度的信仰。因此，如果你说足球队A有75％的机会击败足球队B，就表示了对这种结果的信念程度。足球比赛肯定不会进行很多次，所以从频率的角度来看，你的表达没有任何意义。但对于贝叶斯而言，这非常有意义，它意味着你愿意以3-1的赔率赌球队A获胜。
贝叶斯推断的应用得到了迅速增长，并将在未来20年可能会继续如此。例如，现在贝叶斯推断已经广泛应用于天体物理学。宇宙学的某些理论包含受制于实验的基本参数，如空间的曲率、可见物质的密度、暗物质的密度和暗能量。贝叶斯推断可以以几种不同的方式限制这些量。如果你认同一个特定的模型，你就可以计算出事先给你信念的最有可能的参数值。如果你不知道应该相信哪个模型，贝叶斯规则可以让你计算哪个更可能的让步比。最后，如果你认为证据不能确认任何一个模型，你可以平均所有候选模型的概率分布，并估计可行的参数。
贝叶斯推断也开始在生物学领域流行起来。例如，在称为途径的复杂网络中交互的细胞基因。利用微阵列，生物学家可以看到乳腺癌细胞中的活跃途径。许多途径都已经知道了，但数据库还远远不够完善。贝叶斯推理为生物学家提供了一种方式，从先前的假设（该基因组可能一起工作）前进到后面的假设（即该基因组可能涉及乳腺癌组织）。
在经济学中，对消费者调查的贝叶斯分析，使企业能够更好地预测对一款新产品的反应。贝叶斯方法可以挖掘调查数据，并找出是什么使客户存在不同（例如，有的人喜欢比萨上的凤尾鱼，而其他人却讨厌）。
已经证明，贝叶斯推断能够有效地进行机器学习，例如，训练垃圾邮件过滤器认识垃圾邮件。所有电子邮件的概率分布是相当大，是不可知的，但贝叶斯推断会自动使过滤器从先前不知道垃圾邮件任何情况的状态，转换到之后它认识到“V1agra”很可能是垃圾邮件的状态。
虽然贝叶斯推断有各种现实世界的应用，但贝叶斯统计中的许多进步都依赖于或将依赖于并非针对特定应用的研究。例如，马尔可夫链蒙特卡罗出现于一个完全不同的科学领域。其中一个重要的研究领域是先验分布的古老问题。在许多情况下，有一个唯一的先验分布，使实验者避免对进入一个统计模型的参数值进行初始估计，同时，充分利用他或她的参数空间几何的知识。例如，实验者可能在不了解参数具体值情况的时候知道参数是负值。
在这些领域的基础研究将补充针对特定应用的问题，如发现乳腺癌基因或建筑机器人等问题，因此将确保贝叶斯推断继续寻找丰富的新应用。
6. 扩散张量成像/大脑的新视角
如果没有数学科学，扩散张量成像是绝对不可能出现的。数学是隐藏在众目睽睽下：隐藏在扩散张量成像中的那个神秘的“张量”中。张量是一个数学概念，在19世纪提出，它推广了向量的概念。已经证明，张量可以应用于许多物理学领域。
在2000年之后的十年间，扩散张量成像的研究快速发展，研究论文的数量大约每2年就翻一番。也许存在的最根本问题是，区分图像的单一立方体（或“体素”，即一个像素的三维类似物）内的两个纤维交叉在一起。据估计，扩散张量成像扫描中多达30％的体素具有一个以上的纤维穿过它们。不幸的是，标准的扩散张量无法检测到这一事实。一个椭球只有一个长轴，它不能具有两个不同的“拐点”。如果实际上有两个纤维，扩散张量成像却不会产生两个椭球，而是一个、更圆的椭球。因此，它会低估体素内的局部各向异性，它也可能错误地绘制的纤维途径。
解决交叉纤维问题的一种方法是，提高扫描的分辨率，使得每个体素更小。因此，将需要具有更强磁场的核磁共振成像扫描仪，这在过去十年一直是一个趋势。但更便宜的替代方案是发展数学方法，取代具有更复杂扩散面的椭球。例如，一种称为高角分辨率扩散成像（如第28页的图10所示）的方法结合具有层析成像原理的磁共振数据，并产生交叉纤维的可观详细图像，它们会混淆普通扩散张量成像扫描。但是，它会产生更大量的数据，需要数据挖掘和分析方面的进步。可靠地说，实验和分析两个方面都仍有许多工作要做。
7. 快速多极方法
20世纪90年代初，美国耶鲁大学的Vladimir Rokhlin和纽约大学的Leslie Greengard设计了一种称为快速多极方法的算法，以加快某些类型积分方程的求解。后来，美国物理研究所和IEEE计算机学会将快速多极方法命名为20世纪的十大算法之一。
作为美国国防部高级研究计划局的应用数学计划经理，Louis Auslander的工作是将国防相关的问题分配给能够解决它们的人。当他听说快速多极方法后，对其可能解决长期困扰空军的问题（自动目标识别问题）表示了怀疑。
现在的问题是：当你在雷达屏幕上看到飞机时，你怎么能知道飞机的类型？
快速多极方法的基础是敏锐的洞察力，即如果源点和目标点彼此相隔甚远时，问题就变得更易于管理的。在这种情况下，由源产生的雷达波可以由单个“多极”域近似。虽然第一次它仍然需要Ň次计算，得到多极磁场，但之后你就可以重复使用相同的多极函数。因此，你通过单次进行100万计算，然后100万次进行单次计算（共200万次计算），代替100万次进行100万计算（1万亿次计算）。因此，快速多极方法使更有效的格林函数方法计算上变得可行。
快速多极方法的应用已不仅限于军队。在商业领域，它的最重要应用是用于制造计算机芯片和电子元件。现在，集成电路在几平方厘米的面积上封装了100亿个晶体管，这使得它们的电磁行为很难预测。电子不像在正常尺寸的电路一样只是通过它们应该通过的导线。一根导线中的电荷可诱导其他仅几微米相隔的导线中产生寄生电荷。
预测芯片的实际行为意味着求解麦克斯韦方程组，快速多极方法已被证明是这方面一个完美的工具。例如，现在大多数手机包含采用快速多极方法在制造之前测试的元件。
目前，半导体公司都使用一种比原来为国防高级研究计划局开发的算法稍微简单的快速多极方法的版本。较简单的快速多极方法版本适用于静电场或低频率的电磁波。不管你相信与否，从快速多极方法的角度来看，甚至是每秒运行1亿次的1千兆赫的芯片也是运行在低频率！这是因为1GHz的电磁波的波长仍然比芯片宽度长很多。
快速多极方法的变种适用于与电磁没有任何关系的问题。该方法适用于存在大量相互作用的目标的任何情况，如星系中的恒星或动脉中的红血细胞。每个红细胞影响它附近的许多红血细胞，因为它们被相当密集地密封在粘性流体（血浆）内部。另外，血细胞是容易被压扁的：它们绕曲线或绕着彼此发生弯曲。要考虑这一点，一个良好的计算机模拟需要跟踪每个血细胞表面上的几十个点，以及彼此相互强烈作用的点，因为细胞要保持其结构的完整性。
2010年，一项基于快速多极方法的血流量模拟以其在真正（即不是一个玩具）超级计算问题中的极佳表现，赢得了著名的戈登·贝尔奖。佐治亚技术学院和纽约大学的研究人员使用橡树岭国家实验室的Jaguar超级计算机模拟了2.6亿个可变形红血细胞的流量（大约为一只刺破的手指所流的个数）。这打破了此前只有14000个细胞的纪录，并允许模拟近似真实的血液流体性质。虽然媒体关注于超级计算机，但如果没有快速多极方法，计算也不可能实现，其中快速多极方法以一种适应并行计算的新方式执行。最终，这种模拟将有助于医生更好地认识血液凝固，可能会促进对心脏疾病患者的抗凝治疗方法。
8. 数学科学在国防中的应用
数学科学巩固了国防的许多项支撑技术。最先进的数学和统计学处于智能传感器和先进控制和通信的背后，它们贯穿于研究、开发、工程、测试和评估的整个过程，深入于计划和作战人员的培训仿真系统中。第二次世界大战以来，数学科学为国防做出了关键的贡献，并将继续扩大其效用。下面列举一些数学科学中国防中的重要应用。
图 数学科学用于规划后勤、部署，以及复杂军事行动。
图 数学模拟可以预测烟雾、化学和生物战剂在城市地区的蔓延。
图 数学与统计学为战术行动中的控制和通信提供工具。
图 数学是用来设计先进的装甲。
图 信号分析和控制理论对于无人驾驶飞机是必不可少的。
图 大型的计算程序用于设计飞机、模拟飞行路径和人员培训等。
图 信号处理为通信能力提供便利。
图 移动翻译系统采用语音识别软件，以减少没有人类语言学家语言障碍。更一般地，数学为基础的模拟用于任务和专业培训中。
图 卫星制导武器利用GPS实现高精确定位，而数学方法促进了弹道学。
图 在车辆设计中，建模与仿真有利于权衡分析，而统计学支持了测试和评估。
9. 数学在生物信息学的应用
2000年6月，人类基因组计划HGP中DNA全系列草图完成，2001年已经基本完成了精确的全系列图。DNA中由四个字母A、T、C、G按一定的顺序排成的长约30亿的序列。除了这四个符号表示四种碱基以外，人们对它包含的“内容”知道的很少。研究DNA全序列有什么结构，由这是个符号排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律，是生物信息学最重要的研究课题之一。
生物信息学是一门综合学科，它与物理、化学、计算技术的关系密切。生物信息学对数学带来了巨大的挑战，同时生物信息学也为数学提供了一个应用的领域。
正确的数学已经存在，并随时可以使用，但它并不为生物学家所熟知。数学家的想法是，创建一个网络，其中的节点表示基因组的子链，边缘表示相互重叠的子链。第一代方法找到通过一个网络的路径，网络只一次通过每个节点。已经知道该问题需要令人绝望的极长的时间来解决。然而，更好的办法是找到一条精确通过网络每个环节仅一次的路径。该问题称为欧拉路径问题，具有计算高效的解，使新一代测序变得实用。
数学科学在基因组中的应用对社会产生了很大的影响。2011年，美国巴特尔纪念研究所的一项研究得出的结论是，人类基因组计划的经济影响已经接近 8000亿美元，这是对美国政府30亿美元投资的巨大回报。并且，这甚至并未考虑到对人类的影响。人类基因组计划对人类的影响才刚刚开始。
10. 几何与物理/无休止地纠缠
“哲学书写于宇宙这部巨著中，宇宙一直为我们的凝视开放，但它并不能被理解，除非第一次学会理解书写它的语言。它用数学语言书写，符号是三角形、圆和其他几何图形。”1623年，伽利略在科学时代的曙光到来时如是写道。宇宙的秘密仍然从几何方面来书写，虽然伽利略描绘的图形现在已经被替换为更奇特和更抽象的图形：流形、纤维丛和Calabi-Yau空间。
19世纪初期，欧几里德几何只是无限多种可能几何形状中的一种。欧氏几何是平的，是一个桌面的几何形状，可以无限延伸。与此相反，非欧几里德几何是弯曲的。它们可以具有球体的正曲率，或者它们可以具有负曲率，具有负曲率的几何难以进行可视化，但可以比作一些叶菜类蔬菜表面的褶边。
19世纪50年代，黎曼迈出了大胆的另一步，描述了空间各点曲率都可以改变的空间。黎曼几何也允许空间采取任何维数——二维、三维，甚至更高维度。他将这些弯曲空间称为“流形”。
一段时间内，这些新的几何形状仍然只是数学好奇心。但在20世纪初，爱因斯坦采用黎曼的数学作为一门语言，表达他的广义相对论，广义相对论中重力是四维空间弯曲的结果。1915年爱因斯坦写下了相对论的方程，随后产生一系列意义深远的发现：黑洞、宇宙膨胀、宇宙大爆炸和暗能量。要完全了解这些想法，你必须学习黎曼几何。
爱因斯坦的广义相对论仅仅是个开始。类似的几何结构是描述粒子物理学的场论的基础。1932年反物质的发现，直接源于调和相对论与量子力学对电子描述的尝试。方程预测了额外的解，它们似乎是带正电的电子，我们现在称它们为正电子。它们是正电子发射断层（PET）扫描的关键因素。正电子发射断层扫描用来研究人类大脑的运作方式。
20世纪30年代末和40年代，物理学家和数学家彼此之间失去了联系。物理学家开始思考有关渗透到所有空间的场，他们称之为“规范场”。（例子包括电磁场、强和弱的核力）。同时出于不同的原因，数学家对一种称为纤维丛的新几何空间产生了浓厚的兴趣，该空间大致类似弯曲空间，空间中的每一点都具有箭图。但直到20世纪70年代，数学家和物理学家才意识到他们在做同样的事情。物理学家的规范场类似于数学家箭图中的单个箭头。数学科学和理论物理学之间的相互思想交流一直持续到今天。
20世纪末和21世纪初，弦论被表示为一种方法，以便将重力物理学和量子物理学理论统一万物的一种理论。类似于所有其他的物理学理论，弦论具有高度的数学性，但必要的数学还未发明。目前还没有弦论家所开展计算的严格背景，而且数学科学家们也不知道这些技术有效的程度。
然而，弦论的研究已经导致数学科学的一些重要应用。由于弦论假定，宇宙具有6个额外的、看不见的维度，它们实际上形成了一个流形，流形是数学科学家发现的一类空间。
几何学和物理学之间的一系列相互作用会继续下去。难以猜测它将在未来导致什么发生，但几乎可以肯定的是两个学科中意想不到的思想将继续从相互作用中产生。伽利略的话仍然是正确的：几何仍是宇宙的语言。
11. 概率论与统计物理学
2000年，人们发现一个普遍的机制，它显示微观无序可导致二维系统的宏观有序。现在，这一发现被称为Schramm-Loewner演化，它可以精确计算那时可能以非严谨方式预测的宏观现象。不仅如此，该机制还适用于上面提到的随机过程，以及其他过程。
Schramm-Loewner演化是对所有这些不同现象的一个奇妙的统一描述，阐明了无序如何创造有序。
Schramm-Loewner演化的最本质特征是称为共形不变性的对称性。共形不变性包括两部分：尺度不变性和旋转不变性。
虽然Schramm-Loewner演化是理解这些二维随机过程的关键，但它还有两个警告。首先，它绝不是通过例程来证明，一个给定的随机过程对应于一个特定的k值。有一些过程，如聚合物的增长（类似于自回避随机游动），适当的k值很值得怀疑，还没有严格的建立。
不幸的是Schramm-Loewner演化局限于二维。这似乎很可能无法通过单个参数如k来对三维随机过程进行分类，也可能描述附近分子相关性的临界指数，并不如二维情况下那么简单。因此，21世纪当数学家门试图解释我们三维世界中的相变时，他们仍然有自己的工作要做。
Schramm-Loewner演化提供了一个模型描述相变如何发生的理论。基于Schramm-Loewner演化的研究曾两次荣获数学科学的最高荣誉之一——菲尔兹奖。此类奖项表明，数学科学家的发现几乎不到十年时间，就赢得了不平凡的尊重。
12. 专利发明中的数学科学
还记得CD播放机开始出现在汽车上时似乎多么令人称奇吗？对于要检测跨度小于1微米凹坑的精密仪器，如何在经常摇晃比凹坑尺寸大数万倍的距离的环境下正常工作？神奇的地方不在于减震器，而是在于数学科学。一种称为最大似然序列估计的方法，基于最大似然的统计技术，它可以计算出在1s和0s记录在磁盘上的最可能的序列，并对颠簸车程导致的噪声和误差进行补偿。
许多我们现在已经习以为常的其他技术，都是基于数学思想。其他在今天看来似乎富有远见的、但在20年后可能变得司空见惯的发明，同样取决于数学。为了说明这点，下面的表格列出了10项发明，它们的专利发明运用数学方法。
（1）快速傅立叶变换（FFT）
快速傅立叶变换是将电信号分解成其组成频率的行业标准方式，它基于以规则的时间间隔进行的采样。
这项专利用于“单块集成电路”的硅芯片。该芯片可以计算快速傅立叶变换，用于数字图像处理、语音识别和类似手机中的语音传输。
Patent No. 4547862 (1985) TRW, Inc.
（2）相关系数
相关系数是一种用于确定两对数据集密切相关程度基本统计方法。
一种光学扫描仪通过计算靶心横截面的扫描像素序列和预计序列质检的相关性定位标签上的“靶心”。
Patent No. 6122310 (2000) United Parcel Service
（3）维特比算法
维特比算法用于手机、CD和DVD播放器，对噪声信号进行解码。其核心理念是用“软”的、概率决策程序。
这项专利是数百项基于原始专利版本微调的专利中的一项，它加快了算法的“回溯”部分。
Patent No. 6904105 (2005) Intel
（4）椭圆曲线
椭圆曲线是一种用于公钥的代数结构。例如，验证智能卡的用户身份。
在这项专利中，用户可以选择自己的椭圆曲线，而不是从一个集中管理的注册表中选择一个椭圆曲线。Patent No . 6446205 (2002) Citibank
（5）B-样条曲线
B-样条曲线是表示光滑表面的行业标准方法，用于计算机辅助设计和制造。近年来，B样条曲线已经在视频游戏制造商中流行起来。在专利号为 No. 5982389 (1999)的专利中，B样条曲线用来在用户控制下生成三维图形的平滑运动。
（6）共轭梯度法
共轭梯度法是一种迭代方法，用于求解线性方程（Ax = b）或涉及许多变量的能量最小化问题。
在专利号为6106562 (2000)这项专利中，共轭梯度法用于计算结构简单的分子的电子结构，如玻璃。能量取决于成千上万个变量，每个变量代表一个可能的电子轨道。
（7）复数
复数的数字形式为a + bi。在专利号为 No. 4858164 (1989) United Technologies的专利中，快速傅立叶变换等应用需要能够进行复数相加和相乘运算的集成电路。
（8）极小曲面
极小曲面是具有跨越给定边界的面积最小的表面，如肥皂膜。
该项专利提出施瓦茨三重周期极小表面，作为再生人体骨骼和器官组织的支架。
Patent No. 7718109 (2010) Mayo Foundation.
（9）支持向量机（SVM）
支持向量机是最近（1995年）发现的一种方法，用于将数据分类。
在专利号为 12/694035 (applied 2010) Medtronic, Inc.的专利中，支持向量机用于帕金森氏症患者的移植 “脑起搏器”中，以确定病人何时出现抽搐或运动障碍。
（10）四元数
四元数是超复数，主要用于组成空间旋转。
此项专利是一种牙刷，它能够自动跟踪其相对于用户牙齿的位置。四元数用于补偿用户的头部运动。
Patent No. 12/866,381 (applied 2010) Philips.
（刘小平编译自：http://www.nap.edu/topics.php?topic=290。原文题目：Fueling Innovation and Discovery: The Mathematical Sciences in the 21st Century）
