球面去掉三个点是最简单的双曲黎曼曲面，却已经包含丰富的几何信息。它的基本群是由两个元素生成的自由群。我们将着重探讨该基本群的表示，尤其是那些有几何意义的表示。同时，球面去掉三个点又是一条可定义在有理数域上的代数曲线，它的算术基本群暗含了关于数域的伽罗华群的信息。我们将回顾关于球面去掉三个点的一些已有结果，然后从Langlands对应的角度来构造它的基本群的表示，最终用来解决逆伽罗华问题的一些新的情形。